Формулы сложения тригонометрических функций: объяснение, примеры

Формулы сложения тригонометрических функций часто пугают не сложностью, а мелкими ошибками со знаками. Ученики путают «плюс-минус», забывают условия существования tg и ctg, или механически подставляют числа без понимания смысла. В результате задача, которая должна решаться за 2–3 шага, превращается в долгое гадание.

На самом деле логика простая: мы умеем работать с углами α и β отдельно, а эти формулы позволяют вычислять значения для суммы или разности, не переходя сразу к калькулятору или таблице для «неудобных» углов.

Что именно называют формулами сложения

Это группа тождеств, которые выражают синус, косинус, тангенс и котангенс суммы или разности двух углов через значения этих функций каждого угла отдельно.

В базовом наборе имеем:

2 формулы для sin (сумма и разность),
2 формулы для cos (сумма и разность),
2 формулы для tg (сумма и разность),
2 формулы для ctg (сумма и разность).

Формулы сложения для синуса и косинуса

Синус суммы: sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

Синус разности: sin(α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β

Косинус суммы: cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β

Косинус разности: cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Обрати внимание на главный «маячок» памяти: в формуле cos знаки как будто «меняются местами» по сравнению с sin. Именно здесь чаще всего делают ошибки.

Формулы сложения для тангенса и котангенса

Тангенс суммы: tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β)

Тангенс разности: tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β)

Котангенс суммы: ctg(α + β) = (ctg α · ctg β − 1) / (ctg α + ctg β)

Котангенс разности: ctg(α − β) = (ctg α · ctg β + 1) / (ctg β − ctg α)

Практическая проблема здесь одна: ученики записывают формулу правильно, но не проверяют, существует ли выражение. Помни о запрещённых значениях для tg и ctg:

tg x не существует при x = 90° + 180°·n,
ctg x не существует при x = 180°·n.

Как быстро не перепутать знаки

Есть короткое правило-подсказка, которое хорошо работает на контрольных и НМТ:

Для sin знак в формуле такой же, как в скобках: «плюс» с «плюсом», «минус» с «минусом».
Для cos знак перед произведением sin α · sin β противоположен знаку в скобках.
Для tg в знаменателе знак противоположен знаку в числителе.

Это не заменяет понимание, но сильно уменьшает количество ошибок из-за невнимательности.