Формули додавання тригонометричних функцій: пояснення, приклади

Формули додавання тригонометричних функцій часто лякають не складністю, а дрібними помилками зі знаками. Учні плутають «плюс-мінус», забувають умови існування tg та ctg, або механічно підставляють числа без розуміння сенсу. У результаті задача, яка мала б розв’язуватися за 2–3 кроки, перетворюється на довге гадання.

Насправді логіка проста: ми вміємо працювати з кутами α і β окремо, а ці формули дозволяють обчислювати значення для суми чи різниці, не переходячи одразу до калькулятора чи таблиці для «незручних» кутів.

Що саме називають формулами додавання

Це група тотожностей, що виражають синус, косинус, тангенс і котангенс суми або різниці двох кутів через значення цих функцій кожного кута окремо.

У базовому наборі маємо:

2 формули для sin (сума і різниця),
2 формули для cos (сума і різниця),
2 формули для tg (сума і різниця),
2 формули для ctg (сума і різниця).

Формули додавання для синуса і косинуса

Синус суми: sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

Синус різниці: sin(α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β

Косинус суми: cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β

Косинус різниці: cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Зверни увагу на головний «маячок» пам’яті: у формулі cos знаки ніби «міняються місцями» порівняно з sin. Саме тут найчастіше роблять помилки.

Формули додавання для тангенса і котангенса

Тангенс суми: tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β)

Тангенс різниці: tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β)

Котангенс суми: ctg(α + β) = (ctg α · ctg β − 1) / (ctg α + ctg β)

Котангенс різниці: ctg(α − β) = (ctg α · ctg β + 1) / (ctg β − ctg α)

Практична проблема тут одна: учні пишуть формулу правильно, але не перевіряють, чи існує вираз. Пам’ятай про заборонені значення для tg і ctg:

tg x не існує при x = 90° + 180°·n,
ctg x не існує при x = 180°·n.

Як швидко не переплутати знаки

Є коротке правило-підказка, яке добре працює на контрольних і НМТ:

Для sin знак у формулі такий самий, як у дужках: «плюс» із «плюсом», «мінус» із «мінусом».
Для cos знак перед добутком sin α · sin β протилежний знаку в дужках.
Для tg у знаменнику знак протилежний знаку у чисельнику.

Це не замінює розуміння, але сильно зменшує кількість помилок через неуважність.